Das Ziegenproblem

Im Folgenden soll ein kleines Experiment einen oft begangenen Irrtum widerlegen helfen. Beim Ziegenproblem geht es um ein kleines Spiel, bei dem ein Spieler das hinter einem von drei Toren versteckte Sportcabrio gewinnen kann.

Nachdem der Spieler ein Tor ausgewählt hat, öffnet der Moderator eines der beiden nicht gewählten Tore genau so, dass immer ~~ein Zonk~~ eine Ziege zum Vorschein kommt. Nun gibt der Moderator dem Spieler die Gelegenheit seine Entscheidung zu überdenken, und sich für das andere verbliebene Tor an Stelle der ersten Wahl zu entscheiden.

Die sich für den Spieler ergebende Fragestellung ist nun: Soll ich das Tor wechseln?

Was sagt ihr? Das Tor in jedem Fall beibehalten! Der Moderator wird das Auto vielleicht selbst behalten, oder bekommt zumindest eine Provision. Er führt den Spieler sicherlich seines eigenen Vorteils willen in die Irre. Vielleicht ist der Kerl aber nett und überzeugter Radfahrer... die Chancen stehen 50:50, da ja hinter einem der beiden verschlossenen Tore das Auto steht. Und hinter dem von mir gewählten Tor ist schon mal nicht diese eine Ziege...

Mathematisch betrachtet müssen wir uns ein wenig mehr Gedanken um die Aufgabenstellung in dieser Textaufgabe machen. Der wichtige Punkt für unsere Entscheidung ist die Frage, welches Tor der Moderator öffnet: Der Moderator öffnet ein Tor genau so, dass eine Ziege erscheint. Der Spieler ist nicht nur weiterhin in der Lage den Sportwagen zu gewinnen, er bekommt darüber hinaus vom Moderator sogar eine wichtige Information, die seine Chancen deutlich verbessern.

Am Anfang stehen die Chancen des Spielers 1 aus 3 den Gewinn nach Hause zu fahren. Die restlichen 2 aus 3 Chancen auf den Gewinn verteilen sich auf die beiden verbliebenen Tore. Durch das Öffnen eines Verlusttores ändert sich nicht die Gewinnwahrscheinlichkeit der beiden Tore zusammen, oder gar die des vom Spieler gewählten Tores. Es wird lediglich die Wahrscheinlichkeit innerhalb der beiden nicht vom Spieler gewählten Tore auf das letzte verbliebene Tor verschoben. Dieses Tor hat also, nachdem der Moderator eine Ziege offengelegt hat, eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3.

Fazit: Der Spieler sollte das Tor wechseln!

Experiment

Das im Browser nachgestellte Experiment kann nur dann simuliert werden, wenn Sie JavaScript ermöglichen. Sollte dies nicht machbar sein, müssen wir Sie bitten, den obigen Erläuterungen oder einer der am Seitenende genannten Websites zu vertrauen.

In die folgende Tabelle werden alle mit (Pseudo-)Zufallszahlen ausgelosten Spielabläufe eingetragen:

Tor 1	Tor 2	Tor 3	Spieler	Moderator	Spieler	Wechselt	Gewinnt	Anzahl
X	-	-	1	2	3	Ja	Nein	0
X	-	-	1	2	1	Nein	Ja	0
X	-	-	1	3	2	Ja	Nein	0
X	-	-	1	3	1	Nein	Ja	0
X	-	-	2	3	1	Ja	Ja	0
X	-	-	2	3	2	Nein	Nein	0
X	-	-	3	2	1	Ja	Ja	0
X	-	-	3	2	3	Nein	Nein	0
-	X	-	1	3	2	Ja	Ja	0
-	X	-	1	3	1	Nein	Nein	0
-	X	-	2	1	3	Ja	Nein	0
-	X	-	2	1	2	Nein	Ja	0
-	X	-	2	3	1	Ja	Nein	0
-	X	-	2	3	2	Nein	Ja	0
-	X	-	3	1	2	Ja	Ja	0
-	X	-	3	1	3	Nein	Nein	0
-	-	X	1	2	3	Ja	Ja	0
-	-	X	1	2	1	Nein	Nein	0
-	-	X	2	1	3	Ja	Ja	0
-	-	X	2	1	2	Nein	Nein	0
-	-	X	3	1	2	Ja	Nein	0
-	-	X	3	1	3	Nein	Ja	0
-	-	X	3	2	1	Ja	Nein	0
-	-	X	3	2	3	Nein	Ja	0

Gewürfelte Gewinnverteilungen

Gesamt: 0 zu 0
Tor wechseln: 0 zu 0
Tor behalten: 0 zu 0

Weblinks

Marilyn vos Savant: Game show problem
Wikipedia: Ziegenproblem